Extrait

Dimanche, 20 heures : il existe un président de la République française et il est unique. Ainsi soit.. il! C'est comme «Dieu», non pas le dieu local et temporaire qui vient de nous quitter, mais l'original, l'éternel et l'universel. Que disent de lui les Saintes Écritures ? 1° Dieu est. 2° Dieu est Un.

Existence et unicité. Une belle paire d'axiomes qui fonde le monothéisme. À opposer à cet autre axiome: « Dieux sont plusieurs», qui est cause du surpeuplement des panthéons polythéistes.

En mathématiques, les théorèmes «d'existence et d'unicité sont parmi les plus recherchés. Ils nous assurent qu'un certain objet est, et est unique à être ainsi. Il est un et un seul ! Et sans le connaître plus, sans avoir à l'exhiber, sans jamais l'avoir rencontré, nous pourrons le nommer en disant «c'est celui qui... ». Et nous aurons le droit (mathématique) de le faire.

Dans les langues naturelles, l'existence et l'unicité s'expriment par l'article défini t-s ou LA.

Quand il y en a plusieurs, on ne peut dire que «un« ou «une.

Et quand il n'y en a pas, on peut toujours dire «le» ou «la»; cela, ne se rapportant à rien, ne confirmera ni n'infirmera ce qui est. Ce qui n'existe pas peut-il contredire ce qui est ?

Si existence et unicité impliquent définir, définir n'implique pas exister, encore moins être unique. On cite souvent cette histoire (véridique?) d'un chercheur ayant bâti la théorie d'un type d'objet mathématique par lui défini et qui avait omis d'établir à son sujet un théorème d'existence. Malheureusement, quelque temps plus tard, on prouva que l'objet en question n'existait pas ! La belle théorie... s'envola en fumée.

Nommer, définir; activité langagière et conceptuelle qui nous prend la tête et la langue, mais qui ne suffit pas à faire exister pour de vrai la chose définie. Il y a de très belles définitions du Diable, et aussi de Dieu. Mais aucune ne suffit à prouver que l'un ou l'autre existe. «Dieu existe, je l'ai défini.»

Rejeté ! Mais, «Dieu existe, je l'ai rencontré», c'est une autre affaire, faut voir...

Les discours politiques sont peuplés d'objets qui en général ne sont pas définis. Et dont on n'a encore moins démontré l'existence. C'est pourquoi bon nombre de ces discours, en fait, ne parlent de rien. Qui est ? où est ? quoi est, par exemple, «la racaille» dont se gargarise le Front national ? Le Robert définit racaille par : «partie la plus vile de la population». Vile : qui inspire le mépris. Mais qui inspire le mépris ? Le Front national ? Quand le FN parle de racaille, parle-t-il de lui ?

Les choses ont besoin des mots pour se faire «entendre»; les mots, qui se prétendent les mots des choses, ont besoin des choses pour être les mots de ces choses. Sans cela, ils ne «recouvrent» rien. Que du vide. Du vide qui souvent pèse lourd son poids homicide.

Les mathématiciens disposent de trois façons de prouver l'existence. 1° Exhiber l'objet, pratique résumée dans la très british formule : The proof of the pudding, is in the eating,

2° Proposer un plan «convaincant» de sa construction, 3° Démontrer qu'il ne peut pas ne pas exister: une sorte d'«existence en creux». La preuve de l'existence établie par l'impossibilité de la non-existence.

Dans les mathématiques d'aujourd'hui, une des façons de prouver qu'un certain objet existe consiste à démontrer que, s'il n'existait pas, il y aurait une contradiction dans la théorie, qui la ferait s'effondrer logiquement. Un seul objet manque et tout s'est écroulé I L'existence d'un seul objet comme condition d'existence de la structure entière.

Les mathématiques en tant que système logique sont ainsi faites: on peut faire la preuve d'une existence en établissant l'impossibilité de la non-existence. Mais tous les mathématiciens n'acieptent pas ce point de vue. Pour ces derniers, l'existence d'un objet n'est établie que lorsque l'on propose un procédé de construction effective. On les appelle les constuctivistes.

Chaque fois que l'on dit «le» ou «la» (et aussi «l» apostrophe), il y a, tapi dans les coulisses, un théorème d'existence et l'unicité qui nous y a autorisé. Je lui ai dit : « Tu es l'amour de ma vie ! - Certes, me répondit-elle, voilà cependant qui a besoin de se démontrer ! Premier acte : Prouve-moi d'abord que tu m'aimes. Ensuite, que tu n'aimes que moi' » Ce ne fut pas facile.

Comment savoir qu'il y a un seul objet dans un ensemble ? En les comptant. Et si on ne sait pas compter? Alors, il faut trouver une démonstration. Pour qu'il y en ait un et un seul, il faut d'abord qu'il y en ait. Existence. Et qu'il n'y en ait qu'un.

Unicité. Comment démontrer qu'il «y en a qu'un» ? Simple. Puisqu'on vient de démontrer qu'il y en a, on a le droit d'en exhiber certains. Exhibons-les. Puis démontrons qu'ils sont tous LE même : quels que soient x et y exhibés donc x = y. Donc il (n') y en a qu'un.

Ce qui, rapporté à la première phrase de la chronique, donne : quels que soient les présidents de la République française, ils sont le même. Me serais-je trompé quelque part?